bunt, bydd y pris braidd yn uchel i'r unigolyn, ond bydd yn werth ei brynu i'r llyfrgelloedd a bydd o ddefnydd mawr i'r dosbarthiadau allanol sy'n astudio gwyddoniaeth. Mathematics in the Modern World. Golygwyd gan Morris Kline. W. H. Freeman, 1968. Pris: clawr papur 54s., clawr caled 84s. Honnir bod Bertrand Russell unwaith wedi diffinio mathemategydd fel dyn nad yw'n deall mathemategydd arall. Mae'r diffiniad hwn yn awgrymu amrywiaeth mathemateg a dangosir yr amrywiaeth yn y llyfr hwn, sy'n cynnwys pum deg o erthyglau a ymddangosodd yn y Scientific American, y misolyn gwerthfawr yna sy'n llwyddo cystal i ddenu'r arbenigwyr i ysgrifennu'n syml ac yn ddealladwy am y datblygiadau yn eu meysydd. Ni ddichon sylwi ar bob erthygl ac mae'n rhaid, felly, ymdrin â rhai agweddau yn unig, gan ychwanegu argraffiadau cyffredinol. Un erthygl o ddiddordeb mawr yw'r cyfieithiad o erthygl Leonhard Euler ar bontydd Koenigsberg a ysgrifenwyd yn y ddeunawfed ganrif. Yr oedd saith o bontydd dros yr afon Pregel yn cysylltu dwy ynys gyda'i gilydd ac â'r glannau. Un o'r pethau yr hoffai'r werin eu trafod oedd y posibilrwydd o gerdded yn ddi-dor dros y saith bont heb ail groesi'r un. Mae'r erthygl hon yn un o'r erthyglau mathe- mategol pwysicaf a fu erioed, gan mai o hon y tarddodd topoleg, y rhan o fathemateg sy'n ymwneud â chydberthynas sefyllfa heb boeni am eu siâp. Fel pob cangen arall o fathemateg, mae topoleg wedi mynd yn hynod o dechnegol, ac mae wedi mynd erbyn hyn yn llawer mwy astrus na phroblem y pontydd. Mae, fodd bynnag, yn nhopoleg un broblem sydd o'r pwysigrwydd mwyaf ond sydd eto yn ddealladwy, sef theorem y pwynt anghyfnewid. Dyma enghraifft o'r theorem: ar ôl troi cwpaned o goffi, dyweder (heb dasgu dim) a'r coffi wedi gorffen symud, bydd un pwynt, beth bynnag, ar wyneb y coffi yn yr un lle yn union ag yr oedd cyn dechrau'r troi. Fe elwir pwynt o'r math yma yn bwynt anghyfnewid. Mewn erthygl yn ymdrin â'r theorem, rhoddir amryw o enghreifft- iau o hyn. Yn amserol iawn, un ohonynt yw llwybr lloeren yn y gofod o gwmpas y lleuad a'r ddaear. Un o'r rhannau mwyaf diddorol, ac o bosibl yr °ııı sy'n achosi mwy o waith meddwl, yw'r rhan y'n ymwneud â seiliau mathemateg, neu, os nynnir, y cydberthynas rhwng mathemateg a hesymeg. Fe'n hatgoffir ni o'r ffaith bwysig sydd LL.G.C. yn theorem Gödel, sef nad yw'n bosibl profi pob gwirionedd, ac nad oes modd gwrthbrofi pob anwiredd. Bydd yn anodd iawn cael cystal esbon- iadau elfennol ar y materion pwysig hyn, sydd mor aml, am resymau digonol, wrth gwrs, yn cael eu hanwybyddu. Amhosibl yw cael cyfrol o'r fath yma heb sôn am gyfrifiaduron, a rhoddir sylw teilwng iddynt. Yn yr erthygl gan Oettinger, sy'n ymdrin â defnydd cyfrifiaduron mewn gwyddoniaeth, yr ydym yn dod i faes sydd wedi cael llawer o sylw yn ddiweddar. Wrth reswm, defnydd amlwg a wneir o'r cyfrifiadur yw dadansoddiad casgliadau mawr o ganlyniadau arbrofion, ond mae'n debyg fod y syniad o wneud yr arbrofion ar y cyfrifiadur ei hun yr un mor bwysig. Felly, gallem osgoi gwneud llawer o arbrofion costus ofer. Hefyd, mae rhai o syniadau diweddar ieithyddiaeth ar ramadeg yn gofyn am ddefnyddio'r cyfrifiadur i ddadansoddi patrymau posibl brawddegau mewn iaith arbennig. Yn gysyllt- iedig â'r cyfrifiaduron, mae'r ymdriniaeth o ddyn fel peiriant. Trafodir yma beiriant Turing sy'n gallu ei ddysgu ei hun, a pheiriant von Neumann sy'n gallu, mewn egwyddor, creu peiriannau o'r un math ag ef ei hun. Mae'n syndod, gyda llaw, pa mor aml y gwelir enw von Neumann yn yr erthyglau yn y llyfr hwn. Mae amryw o erthyglau unigol sydd o ddiddordeb arbennig hefyd. Mae yma 'fywgraffiad' Nicolas Bourbaki, yr enw a fabwysiadwyd gan y gym- deithas o fathemategwyr Ffrangeg sy'n ysgrifennu Elémentes des Mathématique (ond nid yn elfennol o bell ffordd-mae angen 200 tudalen ar Bourbaki i ddiffinio'r rhif 1). Mae erthygl Dyson ar Fathe- mateg yn y Gwyddorau Ffisegol yn dangos sut mae patrwm gronynnau elfennol natur yn dibynnu ar fath o algebra, ac mae Einstein (y dyn sy'n cynrychioli'r mathemategydd i'r dyn cyffredin) yn ymdrin â natur disgyrchiant. Mae ansawdd yr erthyglau yn ardderchog. Nid oes un ohonynt yn dywyll, ac mae'r diagramau (dros 400 ohonynt) a'r lluniau o gymorth mawr. Hefyd mae'r ysgrifau arweiniol gan Morris Kline, a olygodd y gyfrol, yn ychwanegu cryn dipyn at werth y llyfr. Ni fedraf wneud dim ond canmol y gyfrol hon i unrhyw un sydd â diddordeb mewn mathemateg, ie hyd yn oed i'r dyn mwyaf anfathemategol. Mae'r argraffwaith yn dda. Yn wir, mae'r llyfr, o'i brynu mewn clawr papur, yn wirioneddol rhad-peth anarferol iawn mewn llyfrau Americanaidd. LL.G.C.